САЙТ — Главная страница

Детям, ученикам и взрослым

12 файлов

О пустом множестве

Запись 13 декабря 1972 г

Посл. загруз. 28.03.2024

Содержание

О пустом множестве 77 стр.

PUSTOE

О пустом множестве

Точки зрения

(Литература)

(Интересно сравнить)

Список файлов сайта (136; гиперссылки)

-------------------------------------------------------------

Точки зрения

Часто в математической литературе «легко» доказывается, что пустое множество

является подмножеством любого другого (пустого или непустого) множества.

Основой такого доказательства служат приводимые ниже определения
подмножества и пустого множества (курсив и полужирный шрифт везде мои):

1. Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы,

из которых состоит А, входят и в В. Это соотношение символически обозначается
так: А < В (или А L В; извините, но правильных знаков в Спецсим-ах я не нашёл)

2. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым

и обозначается символом Ǿ (или обычным нулём: 0).

Совершенно очевидно, что в первом определении речь идёт о двух непустых

множествах, поскольку в каждом предполагается наличие элементов, которые

и сравниваются между собой.

Теперь посмотрим, как же на основании определения подмножества, которое

ЯВНО предполагает НАЛИЧИЕ элементов как во множестве, так и в его

подмножестве, доказывается, что пустое множество, определение которого

ЯВНО предполагает ОТСУТСТВИЕ элементов в нём, является

подмножеством любого (пустого или непустого) множества:

[1], стр. 21:

«… Пустое множество есть подмножество любого множества. Чтобы установить

это, надо доказать, что если А есть произвольное множество, то каждый элемент

Ǿ (вот именно: КАЖДЫЙ элемент Ǿ, а в Ǿ ИХ НЕТ! – Н.М.) есть элемент

подмножества А. Поскольку Ǿ не имеет элементов, то условие выполняется

автоматически». (Какая-то казуистика! – Н.М.)

Итак, «доказали»: каждый элемент Ǿ есть элемент А! Ну и ну! Так, чего

доброго, можно доказать и противоположное: Ǿ не является подмножеством А,

поскольку Ǿ не содержит элементов! Или ещё интереснее: поскольку А

не содержит ни одного элемента из Ǿ. Каково! Попробуй, опровергни!

Аналогично:

[2], стр. 237:

«… По определению любой субъект универсума не входит в пустое

множество Ǿ . Тем самым всякий элемент пустого множества

содержится в любом множестве М.

А значит, любое множество М содержит пустое подмножество».

Голова моя явно слаба понять это. Ведь можно сказать и так:

По определению любой субъект универсума не входит в пустое множество Ǿ.

Тем самым ни какой элемент пустого множества не содержится ни в каком

множестве М. А значит, никакое множество М не может содержать в качестве
подмножества пустое множество».

Пожалуй, разум более приемлет второе утверждение, как более понятное; –

«раз нет, то и говорить нечего», чем утверждение – «хотя нет, но есть:» (не путать

с «понятным» определением – «хотя и нет, но можно говорить…»)

[3], стр. 138:

«… Заметим, между прочим, что из определения отношения А < В следует,

что, каково бы ни было подмножество А множества J

4) 0 < А …»

Таким образом, «доказательства» во всех рассмотренных случаях

аналогичны. Чувствуя неубедительность своих аргументов, некоторые авторы

приводят «косвенные» доказательства того, что Ǿ < А :

[1], стр. 21:

«… Хотя такое рассуждение (смотрите выше – Н.М.) правильно, в нём имеется

нечто неудовлетворительное. Имеется и другое, косвенное доказательство,

которое может оказаться более удобным. Это может быть лишь в том случае,

если существует (да нету их там вообще!!! – Н.М.) некоторый элемент Ǿ ,

не являющийся множества А. Но это невозможно, так как Ǿ не имеет элементов.

Значит, Ǿ < А не является ложным, т.е. Ǿ < А .»

Нетрудно провести аналогичное по форме «доказательство» противоположного

факта: Ǿ не принадлежит А. Действительно. Допустим, что Ǿ не принадлежит А

ложно (т.е. Ǿ < А – истинно). Это может быть лишь в том случае, если

множество А содержит все элементы множества Ǿ . Но это невозможно, так

как во множестве А , очевидно, нельзя найти и одного элемента, принадлежащего

пустому множеству, т.к. Ǿ не имеет элементов. . Значит, «Ǿ не принадлежит А»

не является ложным, т.е. Ǿ не принадлежит А ».

[3], стр. 138:

«… Свойство 4) (см. выше – Н.М.) может показаться несколько парадоксальным,

но если вдуматься (я очень пытался, но оказался слабоват – Н,М,), оно

логически строго соответствует точному смыслу определения знака < .

В самом деле, соотношение Ǿ < А нарушалось бы только в том случае,

если бы пустое множество Ǿ содержало элемент(да нету их там вообще!!! – Н.М.),

который не содержался бы в А, но так как пустое множество не содержит вовсе

элементов, то этого быть не может, каково бы ни было А».

А вот аналогичное по форме, но противоположное по результатам доказательство;

соотношение Ǿ не принадлежит А нарушалось бы только в том случае, если бы

множество А содержало бы все элементы … и т.д. и т.п. ( смотрите ранее
приведённое «контрдоказательство»).

Итак, любое доказательство утверждения Ǿ < А , основано на определение
подмножества, данного для непустых множеств. Что, как мне кажется неправомерно.

На мой взгляд дать определение подмножества так, чтобы соотношение Ǿ < А

являлось его следствием, НЕЛЬЗЯ! Дело в том, что пустое множество

КАЧЕСТВЕННО отличается от непустого именно тем, что оно не содержит элементов.

Т. е. их вообще нелогично сравнивать!

Да, трудно доказать ЧТО-ТО, когда в разряд ЧЕГО-ТО зачисляется НИЧТО.

А поэтому удобное и необходимое для нас соотношение Ǿ < А нужно просто

ПОСТУЛИРОВАТЬ. Я так думаю.

[4], стр. 55:

«… Если, как это уже предполагалось выше, ввести в рассмотрение так

называемое пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного

элемента, то пустое множество придётся (вот именно! – Н.М.) формально

считать подмножеством любого другого множества (пустого или

непустого)»

Некоторые авторы (см. например [5], стр. 14) фактически так и поступают.

Не исключено, однако, что здесь имеет место отказ от доказательства

соотношения Ǿ < А ввиду его «очевидности»

[4], стр. 55:

«… Если, как это уже предполагалось выше, ввести в рассмотрение так

называемое пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного

элемента, то пустое множество придётся (вот именно! – Н.М.) формально

считать.подмножеством любого другого множества (пустого или

непустого)»

Новая редакцыя 17.03.2013

Литература:

[1], Множества. Логика. Аксиоматические теории,

Роберт Р. Стол: «Просвещение», М. 1968 г. (перевод с английского).

[2], Равенство. Сходство. Порядок. Ю. А. Шрейдер, «Наука», М. 1971 г.

[3], Что такое математика?

Р. Курант и Г. Робинс, «Просвещение», М. 1967 г. (перевод с английского).

[4], «Математика в школе» №3, 1967 г. «Просвещение»,

[5], Элементы теории функций и функционального анализа

А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, «Наука», М. 1972 г.

Интересно сравнить

Википедия

В некоторых формулировках теории множеств существование
пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества),
в других — доказывается.

18.03.2013

========================================================