САЙТ
— Главная страница.
Детям, ученикам и взрослым
12 файлов
Простые диофантовы уравнения
Январ 1970 и 24.03.2018
Посл. загруз. 12.04.2024
Содержание
Простые диофантовы уравнения 23 стр.
MATEM
Простые диофантовы уравнения
§1. Уравнение ax + by + cxy
= d
§2. А так ли уж сложно?
§3. Уравнение a1x + a2y + a3xy + a4x2 = a0
Задачи.
Ответы и решения.
§4. Уравнение ax + by + txy
= 0
§5. Уравнение ax + by + сtxy
= 0
§6. Уравнение x2 + y2
= n2
Дополнительно
1. Задача третьеклассника?
2. Задача Л.Н. Толстого
3. Апория Зенона
Ахиллес и черепаха
4. Третий замечательный предел
Закон равенства
Математическая Теория любви
Определение любви.
Формула любви.
Виды любви
Если без лирики:
Список файлов сайта (136; гиперссылки)
-------------------------------------------------------------
Подвал
Смотрим вместе советский учебник арифметики 1955 года …
Как бабушка мне в двух словах теорию относительности объяснила
Почему это не объясняют на уроках физики?
Сверхплотная планета-монстр - астрономы в тупике
Пророческие слова О. Борисова
о том, во что превратятся современные актеры.
Как современный Нобелевский лауреат подтвердил идею философа 17 века.
Пасьянс паук
ДИОФАНТОВЫМИ уравнениями называют такие
уравнения,
в которых неизвестные могут принимать только целые значения.
Нельзя стать настоящим поэтом,
не
будучи немного математиком.
Займемся немного
математикой.
§1. Уравнение
ax + by + cxy
= d (1)
при c ≠ 0 легко (проверьте) приводится к виду
(cx + b)(cy + a) = ab + cd
Если
m и n
взаимно дополнительные
делители числа S = ab + cd, т.е. mn = S,
то, очевидно: x = (m – b) / c
y = (n – a) / c (2)
а при S = 0 и c – делителе a и (или) с
– делителе b,
все целочисленные решения могут быть представлены
в виде одного и (или) двух бесконечных классов:
(- b/c; y)
и (или) (x; - a/c). (3)
которые пересекаются лишь в одной
«точке»
(- b/c; - a/c).
Замечание
Другой вид уравнения (1):
a : x + b
: y = t (при х
≠ 0 и
у ≠ 0)
Пример.
Решить в целых числах уравнение
3x + 4y + 5xy = 6.
Решение.
Здесь S = 3*4 + 5*6 = 42 = mn
Делители 42:
± (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).
По формулам (2) x =(m – 4) / 5, y = (n –3) / 5,
находим, что при m =
-1, -6, 14,
-21
n = -42, -7, 3,
-2
решениями будут: x =
-1, -2, 2,
-5
y = -9, -2,
0, -1.
Итак, данное уравнение имеет 4
решения
в целых числах и ни одного в натуральных.
Задачи.
1. Найти всевозможные
прямоугольники с целочисленными
сторонами, утроенная площадь которых численно превышает
половину периметра на 21 единицу.
2. Найти все целочисленные
прямоугольные треугольники,
площадь которых выражается тем же числом, что и периметр.
3. Найти все двухзначные числа,
каждое из которых, будучи
уменьшено на 2, равно упятеренному произведению своих цифр.
4. Определить те моменты жизни
человека, когда его возраст
больше утроенной суммы цифр последнего на удвоенное
произведение этих же цифр.
5. Найти все такие двухзначные
числа, которые делятся
на произведение своих цифр.
6. Доказать, что уравнение х + у + ху = d разрешимо
в натуральных числах тогда и только тогда, когда (d +
1) –
число составное.
7. Выбрать целые p и q так, чтобы оба корня
уравнения
x2 + px + q = 0 были целыми, причем 2р + 3q = – 8.
8. Найти целые корни кубического
уравнения 3x3 + 19x2 – 107x = 0
9. При каких целых m и n система
x + 2y + mz = 0
nx + 3y + mz = 0
nx + 4y + 5z = 0
имеет ненулевое решение.
10. Докажите, что
уравнение (х + у + z)2 = x2 + y2
+ z2
имеет бесконечно много решений в целых числах.
Сколько таких решений при z = 1988. (Я возьму
проще: 19).
«Квант», 1988,
М-1118
Ответы и решения.
1.
Для уравнения 3ху – (х + у) = 21 находим
два прямоугольника: (1*11) и
(3*3) – квадрат.
2.
Для уравнения 0,5xy = x + y + (x2 + y2)0,5,
или ху(ху – 4х – 4у + 8) = 0
находим два прямоугольных
треугольника со сторонами (5;12;13) и
(6;8;10)
3. Пусть ху искомые двузначные числа.
Для уравнения ху – 2 =
5ху, или
(10х + у) – 5ху = 2 S = 0 и все натуральные
решения найдем из множества (х; 2).
Т.к. х – первая цифра двухзначных чисел,
то она может принимать только 9 значений.
Т.о., искомыми числами будут: 12, 22,
32, … , 92.
4. Нельзя говорить о произведении
цифр,
если число однозначное. С другой
стороны, можно считать,
что возраст человека менее 200 лет. Получаем два уравнения:
ху – 3(х + у) = 2ху и 1ху
– 3(1 + х + у) = 2ху.
Или
7х – 2у – 2ху = 0 и 7х – 2у – 2ху = –97.
Откуда и находим: 63 года и 198 лет (???).
5. Для уравнения (10x + y)/xy = t или
–10х – у + txy = 0 находим
mn = 10,
x + = (m + 1) / t, y = (n + 10) / t.
Т.к., х и
у – натуральные числа и t не может превышать
(10 + 1) = 11, легко найти все решения:
11, 12, 15,
24. 36.
6. Для данного уравнения S = d + 1 = mn.
Если
S простое число, то среди всех (четырех!)
решений
х = (0; d; -2; - d - 2)
у = (d; 0; - d - 2; -2 ).
нет ни одного в натуральных числах.
7. Здесь сумма корней t + u = – p, а их произведение tu = q.
Следовательно 2p + 3q = -2(t + u) + 3tu = -8.
Откуда находим значения t и u, а затем p и
q:
p = 5; -4;
-1.
q = -6; 0; -2.
Корни: (-6; 1), (2; 2), (2; -1).
8. Можно, конечно, проверить «на
корень» все 16 делителей
свободного члена –678: ± (1, 2, 3, 6,113, 226, 339, 678).
Проще ввести переменную у = х2 и решить уравнение
-107х + 19у + 3ху = 678. Действительно,
для него находим
S =1 и единственное целочисленное
решение (-6; 36).
Т.к., здесь (-6)2 = 36,
то -6 и корень данного ур-ния.
9. Система линейных однородных
уравнений
имеет ненулевое решение, если определитель этой системы
равен нулю:
1 + 2y + m
n + 3y + m = –
4m – 10n + 3mn + 15 = 0
n + 4y + 5
Решая уравнение 4m + 10n – 3mn = 15,
Находим два решения: (3; 3)
и (5; 1).
10. Я не знаю, как решена эта задача
в источнике.
Предлагаю следующий способ ее решения.
После возведения в квадрат, приведения подобных членов
и сокращения на 2, получим уравнение zx + zy + xy = 0.
Откуда S = z2 = mn
и x = m – z, y = n – z.
Ясно, что выбирая (из бесконечного
множества) любое целое z,
легко вычислять и значения х и у.
Так, при z = 19, z2 = mn = 361, а его делители ± (1; 19;
361).
Тогда, исключая симметричные решения, получим для z = 19
три решения:
х = ( -18; 0; -20)
у = (342; 0;
-38).
Предлагаю
ввести (если этого нет) символы:
Del(a) и
del(a) –
произвольные делители числа а,
и такие, что Del(a)*del(a) = а.
Тогда формулы (2) станут легко
запоминаемыми:
х = (Del(ab + cd )– b)
/ c
y = (del(ad + cd)
– a) / c
т. к., исключаются
промежуточные S, m,
n.
Кроме того: del(a) – любой делитель числа а.
§2. А так ли уж сложно?
«… Сначала он вывел формулу, связывающую магическую
константу к с постоянной
шестиугольника
n:
2k(2n – 1) = 9(n4 – 2n3 + 2n2– n) + 2 (1)
Затем довольно сложным путем показал, что это выражение
принимает целые значения лишь при n = 1 и n = 3.»
М. Гарднер, Математические досуги, Мир,
М., 1972, стр. 349.
Решение. Умножая обе части (1)
на 24 = 16 и произведя деление многочлена
на одночлен, получим: 32k = 72n3 – 108n2 + 90n – 27 + 5:(2n – 1).
Откуда видно, что (2n – 1) является делителем 5, т. е. для
получения целых
значений необходимо испытать n = -2, 0, 1 и 3.
Как показывает проверка, любое из этих значений удовлетворяет (1):
соответствующие значения к =
-38, -1,
1 и 38.
Ответ. Это данное диофантово уравнение имеет четыре решения
вцелых числах и только два (из них) – в натуральных.
Примечание. Очевидно, что описанный способ
является общим для
нахождения всех целочисленных
решений диофантова уравнения
y = (многочлен) :
(ах + b),
где числитель и знаменатель взаимно
просты.
§3. Уравнение
a1x + a2y
+ a3xy + a4x2 = a0 (1)
при
а3 ≠ 0 всегда
(проверьте) можно представить в виде:
(a3x + a2) (a3a4x
+ a32y + a3a1 – a2a4)
= S, (2)
где
S = a3(a1a2
+ a3a0) – a4a22 = mn (3)
Возможны два случая:
1)
S = 0. Тогда, приравнивая поочередно
нулю каждый
из сомножителей в (2), получим:
а) при а3 = del.(а2)
первый класс решений: (-а2
/ а3; y),
б) при а3 = del.(а2а4)
и НОД (а3; а4) = del.(a2а4 / a3 – a1 )
второй класс: ((х0
± а3t); (y0 – + a4t)),
где (х0; y0) есть частное решение
диофантова уравнения
a4x + a3y = a2a4 / a3 – a1
(предполагаю, что читатель владеет
его решением).
Т.о., при S = 0 множество решений ур. (1)
либо пусто, либо бесконечно; в
последнем случае оно может состоять
из одного или двух классов (например, при
а3 = ±1 оно всегда
в качестве решений имеет оба класса).
2)
S ≠ 0. В этом случае, очевидно:
x
= (
y
= (((
из которых видно, что число решений ур. (1) не более чем конечно,
а при а3
= ± 1 их число совпадает с
количеством целых делителей S.
Примечание.
Легко видеть, что ур. (1) из §1
является частным случаем ур. (1) из §3 при
а4 = 0.
Задачи.
Решить диофантовы уравнения:
1.
5х + 15у + 30ху + 42х2
= 8
2.
23х + 30у –10ху + 15х2
= 204
3.
х + 2у + 6ху +3х2 = 0
4.
5х + 6у + 3ху + 11х2
= 34
5.
5х – 2у – ху + 7х2 = 18
6.
7х – 2у + 4ху + 5х2
= 7
7.
2х + 3у +ху + 4х2 =5
8.
– 3х + 5у –11ху + х2
= – 2
Ответы
и решения.
1.
Здесь S = 30(75 + 240) – 42*152 = 0
Т.к., 30 ≠ del(15), то 1-й класс решений не существует.
Хотя 30 = del(15*42), но 6 ≠ del(21 – 5), то
2-й класс решений также не существует.
2.
Здесь S = 0.
Существует только 1-й класс
решений: (3; у). Легко выполнить проверку
69 + 30у – 30у + 135 = 204.
3.
Здесь S = 0. Существует только 2-й класс
решений: (– 2t; t). Проверка
подтверждает это.
4.
Здесь S = 0. Множество решений данного
уравнения бесконечно и состоит из
двух классов:
{ -2; у} и {(1 + 3t); (2 – 11t)}
5.
Здесь S = 0.
Множество решений данного
уравнения бесконечно и состоит из
двух классов:
{ -2; у} и {х; 7х – 9у}
6.
Здесь S = 36. Множество решений данного
уравнения либо пусто, либо конечно.
Все решения находим по формулам:
x = (Del(36) + 2) : 4
y = (((del(36) – 10) : 4 – (7 + 5x)) : 4
Все делители 36: ± (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Убеждаемся, что данное уравнение
решений не имеет.
7.
Здесь S = -25. Т.к., а3 = 1, то априори
множество решений данного уравнения
конечно,
и равно числу делителей S = -25 – шести:
± (1, 5, 25).
Все решения находим по формулам:
x
=
y
=
(-2;
-7), (-4; 51), (2; -3),
(-8; 47), (22; -79), (-28; 123).
8. Здесь S = -102. 16 делителей.
Но всего два решения: (1; 0)
и (2; 0).
§4. Уравнение
ax + by + txy = 0 (1)
1. Если (х0;
у0: t0) — решение (1), то:
(х0; -у0:
t0) есть решение -ax + by + txy = 0,
(-х0; у0:
t0) есть решение ax – by + txy = 0,
(х0; у0:
-t0) есть решение -ax – by + txy = 0,
что даёт нам право решать (1) лишь с
натуральными а и b.
Легко проверяется.
2. Если (х0;
у0: t0) — решение (1), то
(-х0; -у0:
-t0) также его решение. Легко проверяется.
3. Очевидно, что уравнению (1) удовлетворяет два класса
решений {bz; -az; 0} и {0; 0; t},
которые пересекаются только в точке (0; 0; 0).
4 При t ≠ 0
уравнение (1) можно представить в виде
(tx + b) (ty + a) = ab.
Откуда
х = (Del(ab)– b) / t (2)
y = (
Легко видеть,
что множество «неорганизованных» решений (1) –
конечно (делитель t ограничен), и всегда существует
(по крайней мере при t = ±1).
Заметим, что второй класс решений также определяется в (2),
кроме решения (0; 0; 0).
Методика нахождения всех решений проста,
она вытекает из (2).
Пусть m = Del(ab)– b ≠ 0
n =
Находим последовательно:
t
=
x
= m / t
y
= n / t
Пример.
Решить в целых числах уравнение
5x – 19y + txy = 0.
Решение.
Здесь классы решений: {0; 0; t}
и {19z; 5z}.
ab
= 5(-19) = -95
m =
n =
Заполняем таблицу:
m = 20 18 24
14 38 104
-76
n = 100 90
-24 14 -2
-6 -4
НОД (m,n) = 20 18
24 14 2
2
4
1) для первого столбика (и
положительных t):
t = 1 2
4 5
10 20
x = 20 10
5 4 2
1
y = -100 -50
-25 -20 -10
-5
Меняя в этих решениях знаки на противоположные
получим ещё 6 решений (для отрицательных
t).
И так для каждого столбца из таблицы:
2) … — 7) …
Всего будет найдено 62 целочисленных
решения.
Из них только 10 – в натуральных
числах.
§5. Уравнение
ax + by + сtxy
= 0
очевидно сводится к (1), если сt
заменить на t',
Из всех решений нового уравнения нужно отбрать
те,
для которых t'
кратно с.
Пример. Решить в целых
числах уравнение
5x –
19y + 7txy = 0.
Решение.
Опираясь на решения предыдущего примера,
находим 4 решения в целых числах:
t' = 7
14 - 7 - 14
t =
- 1 - 2 1
- 2
x = 2
1 - 2 - 1
у = 2
1 - 2 - 1
Заметим, что при решении таких уравнений
для t'
можно сразу отбирать только те делители,
которые кратны 7.
§6. Уравнение
x2 + y2
= n2 (1)
Покажу на примере при
n = 50.
1. Находим натуральные делители 50:
2. Вычитаем из них единицу:
3. Извлекаем из последних кв. корень.
Получаем: t = 0, 1, 2,
3, 24½, 7.
4. Вычисляем Х и У соответственно:
Х = 2nt : (t2 + 1).
Получаем: 0,
50, 40,
30, 4*24½, 14
У = Хt – n.
Получаем: 50,
0, 30,
40, 46, 48.
т.е. в натуральных числах получили три решения: симмет-
ричные (40; 30) и (30; 40) и иррациональное
(4*24½; 46).
Первые два решения симметричны и тривиальны для
любого n. Вторя пара соответствуеи
египетскому тр-ку.
P.S.
Теория (написана в июле 73)
достаточна длинна, да и писать
её в WORD мне затруднительно.
22.04.2013
Дополнительно
1. Третий замечательный предел
26.02.2013 и
31.07.2017
Могут ли отец и сын стать
ровесниками?
Докажем:
оо : оо = 1, где оо
– знак бесконечности.
Отцу 20 лет, а
сыну всего 1 год. Ясно, что отец превосходит сына
по годом в 20 раз. Через 50 лет отец превзойдёт сына всего лишь в
70 : 51 = 1,37 ! Ещё
через 30 лет: 100 : 81 = 1, 23 !!
Отец оказался редким долгожителем и прожил ещё 66 лет! Сын, с
хорошей наследственностью, не подкачал и теперь 166 : 147 = 1,13 !!!
Если бы отец и сын оказались библейскими долгожителями, то
через
ещё 600 лет: 766 : 747 = 1,02…
Получили
бесконечно убывающий ряд: 20, 1,37
1,13 1,02 … ,
который в бесконечности очевидно сходится
к 1 справа!
Или, если брать
отношения возрастов наоборот – «сына к отцу», то
получим бесконечно ворастающий
ряд: 0,05, 0,73,
0,81, 0,89, 0,98…,
который очевидно стремится всё к той же 1 слева! Итак,
Закон равенства
Предел отношения возрастов
двух произвольно взятых людей
с каждым годом стремится к 1.
Слева или справа.
26.02.2013
Что и требовалось доказать.
31.07.2017
-------------------------------------------------------------
А как Вы посмотрите на 3-й Замечательный ПРЕДЕЛ:
В общем, при m разрядах числа и разнице между числами n должно получиться
что-то типа этого: n - 9 * x, где x ∈ {0, 1 ... m}
2. Апория Зенона
Ахиллес и черепаха
Ах, Ахиллес черепаху Зенона
решился догнать
и сварить!
Не знал он предела – её бастиона,
только за ним черепаху и бить.
12.02.2014
Другими словами
Зенон доказал не то, что заявлял: «Ахилл никог-
да не догонит черепаху», а доказал
(что абсолютно верно), что он не
догонит её на конечно отрезке, конец которого совпадает с
пределом
бесконечно убывающих по длине отрезков, на которые, кстати,
Зенон
искусственно разделил этот отрезок.
23.03.2018
3. Задача третьеклассника?
Разность между двумя четырёхзначными
числами равна 7.
Найти разность меду «суммами цифр»
этих чисел.
(Ну и ну!!!) Может кто-то найдёт
ответ?
(Ответ
из Блога
"Метапредметность"
разъела образование. Задачка ВПР по математике, 7 класс)
-------------------------------------
Ник Муромский, 80 лет, вы же выпускник советской школы, как вы можете...
Первое число: abcx, "сумма цифр" = a+b+c+x.
Второе число: abc(x+7), "сумма цифр" = a+b+c+x+7
Разница чисел: abc(x+7) - abcx = 7
Разница "сумм цифр" = (a+b+c+x+7)-(a+b+c+x) = 7
ВОТ ОНА -ТО И УДИВИЛА МЕНЯ!! В 3-м классе Алгебры тогда не было!
Алексей
Попов, у Вас решение изящное. (7 класс?)
И ответ, как я полагаю (если совсем не отупел: это я для себя пишу - в уме не держатся
числа – ВСЕ 4-хзначные, у КОТОРЫХ х=1 или 2. 1118 -1111 = 7; 1239 - 1232 = 7.
Надеюсь хоть в этом сообразил?). Спасибо, Алексей! Ах, да! забыл спросить:
действительно ли это задача для 3-го КЛАССА? уже не помню: откуда взял её.
Но я решил ОБОБЩИТЬ её и… РЕШАЛ СОВСЕМ ДРУГУЮ ЗАДАЧУ:
Разность между двумя n-значными
числами равна m, где m –
однозначное
натуральное. Найти ВСЕ разности между «суммами цифр» этих
чисел.
----------------------------------------------
Я
РЕШИЛ ЕЁ. .Для конкретного случая n =
х1 = 7
х2 = 7 – 9 = -2
х3 = 7 –18 = -11
х4 = 7 – 27 = -20
Примеры
1238 – 1231 = 7, х1 = 7.
1234 – 1227 = 7, х2 = -2.
1203 – 1196 = 7, х3 = -11,
3006 – 2999 = 7, х4 = -20.
Ник Муромский, 80 лет, не кайтесь. Пожалуй, это я извинюсь - в азарте полемики
с автором меня занесло и зря я про советскую школу (это, конечно, шутка была, но всё
равно зря...).Насчёт того, откуда задача - не знаю, я не педагог. Но, возможно, и для
третьего класса - на понимание состава числа, или как там это называется... Сейчас
в дискуссиях, подобной этой, часто упоминаются разные заковыристые задачи, которые
в советской школе не задавали. Мне кажется, что это интересно. Кого-то, как видно
из комментариев, это раздражает.
И, кстати... "Алексей Попов, у Вас решение изящное." Позор на мою седую голову!
Оно не изящное, оно неправильное, потому что рассматривает лишь случаи, когда
количество десятков в обоих числах одинаково. Понял это, прочитав ваше сообщение...
Буду думать...
Алексей Попов, невероятно! Но тоже самое испытал и я! Теперь и она мне покоя
не даст. Только вот беда: Хоть ЛОГИКА У МЕНЯ РАБОТАЕТ НЕПЛОХО но Память!
читаю конец задачи - начало забыл. иногда приходиться наизусть заучивать - пропади
оно пропадом. Но решение - возможно и частное - всё-таки изящное!
Приятно поговорить с настоящим человеком!
В. Буторов.
Психология Перемен
автор
Ник Муромский, 80 лет, такого типа задач много в заданиях международной олимпиады
"Кенгуру", буквально таких. И она, действительно, для 3-4 класса. Не школы, конечно ))
Виктор Буторов, вот и я думаю, что Олимпиадная. А был ещё и "КВАНТ"...
В. Буторов. Психология Перемен
автор
Ник Муромский, 80 лет, "Квант" был хороший журнал, но читали его не все )) А была
еще и "Занимательная математика" Перельмана. Но как и тогда не все увлекались этими
изданиями, так и сейчас. В этом смысле мало что изменилось. Разве что экономика,
которой ужу не нужно столько развитых мозгов, как еще не так давно.
Виктор Буторов, забыли МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ. До сих пор не прощу себе, что сдал
в школу (на макулатуру?) А ведь там были раритетные довоенные издания! Многое чего
пришлось потерять при моих 12-13 переездах.
Говорят же 3 переезда = пожару. Поэтому я не долюбливаю Дементьва:
НИКОГДА НИ О ЧЁМ НЕ ЖАЛЕЙТЕ, как будто мы бесчувственные куклы.
А вот КВАНТ сохранил за 11 (?) первых лет, если мыши в деревне их не читали.
О! ещё вспомнил ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ - брошюрки.
В. Буторов. Психология Перемен
автор
Ник Муромский, 80 лет, согласно моему опыту иногда хватает одного переезда ))
Бесчувственность - это бич современной школы. И это не метафора, а указание на суть,
на замещение работы с человеком на работу с какой-то машиной. Алгоритмы, пошаговые
методики, технологические карты уроков ...
А про старые книжки - это да ... Я, переезжая, даже БСЭ оставил, подумал: все есть
в интернете. Глуповат-с ...
Виктор Буторов,
Даже смеюсь от души-с! И надеялся (ха-ха! до слёз).
А у меня там же ВСЕМИРНАЯ ИСТОРИЯ, которую в хвост и в гриву сегодня.
Но почитал БУШКОВ А.А. и понял, История не наука!!!
2. Задача Л.Н.Толстого
Вышла в поле артель
косцов. Ей предстояло скосить два луга,
из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель
косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась
пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг,
а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен,
а от малого остался участок, который был скошен на следующий
день одним косцом, работавшим весь день.
Сколько косцов было в
артели?
Решение (2 способа).
1. Логическо-арифметическое.
…В первую половину дня вся артель (бригада), очевидно,
скосила
вдвое больше, чем пол-артели во вторую половину дня. Значит, артель
сделала 2/3 поля, а пол артели – 1/3.
(Весь луг 2/3 + 1/3 = 1 скошен).
Но вторая половина
артели за полдня дня на малом лугу тоже
скосила 1/3 от большого луга. Значит малый луг по площади составляет
1/3 большого луга + часть луга, которую скашивает 1 косец за 1 день.
Следовательно,
половина (1/2) большого луга состоит из 1/3 большого
луга + некоторая площадь х,
скашиваемая косцом за 1 день.
Итак, 1/2 = 1/3 + х. Откуда
х = 1/6 от площади, скошенной за 1 день.
Т.к. за 1 день
артель скосила всего 2/3 + 1/3 + 1/3 =4/3, а один косец
скашивает 1/6 её часть, то всего в артели косцов было: 4/3 :
1/6 = 8!
(Очевидно, что 9 косцов скосили бы оба луга за 1 день; 9 * 1/6 = 3/2 –
это как раз площадь двух лугов в частях: 1 + ½ = 3/2).
2. Алгебраическое (алгебра – арифметика для лентяев).
Введём обозначения:
х – количество косцов в артели;
2у – производительность косца;
Тогда за полдня скошено ½ * 2у * х = ху – 2/3 большого луга:
½ ху – 1/3
б. луга, ½ ху
+ 2у – площадь м. луга.
Составляем уравнение: ху + 1/2ху =
2(1/2ху + 2у). Откуда: х = 8.
Математическая Теория любви
60-е и 70-е годы ХХ века
ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ
Да простят меня поэты и психологи
Определение любви.
– Что такое
любовь? Ну… это
просто:
стремление двух дураков
сделать третьего.
(старый анекдот)
Определение 1.
Любовь (L)
есть чувство полового
влечения (W) плюс уважение (U).
Т.е. для любви необходимо и достаточно наличие W > 0 и U
> 0.
Заметим, что выбор определения зависит от человека. Следствия из
него – нет.
Поэтому, если вам не нравится это определение, далее можно не читать.
Следствие 1.
«Любовь с первого
взгляда невозможна».
Действительно. Впервые
увиденного человека можно (и должно!)
уважать лишь как человека вообще. Об уважении же его как индивидуума
говорить не приходится. Т.о. для впервые увиденного человека U = 0,
а, следовательно, даже при наличии W
> 0 (хотя и как угодно большого)
говорить о любви в смысле Определения 1 нельзя. Следствие доказано.
Следствие 2.
«Любви все
возрасты покорны».
Следствие очевидно, поскольку Определение 1 не делает никаких оговорок
в отношении возраста человека.
Определение 2.
Случай, когда
W > 0, а U = 0
назовем
влюбленностью.
Следствие
3.
«С первого
взгляда можно влюбиться».
Действительно. Как уже говорилось выше, для впервые увиденного
человека
U = 0. однако чувство полового
влечения (W), которое, как правило, связано
с физической красотой человека может возникать (и часто возникает!) с первого
взгляда, т.е. W > 0. Условия Определения 2 выполнены. Следствие доказано.
Формула любви.
Теорема 1.
Любовь есть
функция времени: L = L(t).
Доказательство. В общем случае человек меняется и познается во времени.
Причем, изменение его не бывает, как правило, монотонным (только совершенству-
ется или только деградирует). Нет. И «плохой» человек
может совершать «хорошие»
поступки, а «хороший» – «плохие». Т.о. закон изменения человека со временем
может быть очень сложен. Следовательно, и чувства к нему вообще, а уважение
и влечение в частности, также сложным образом меняется во времени, т.е.
являются
функциями времени: W = W(t) и U = U(t).
Любовь L, являясь суммой двух функций времени, сама,
следовательно,
является функцией времени. Теорема доказана. Итак:
L(t) = W(t) + U(t)
Это и есть формула любви.
Условно будем считать, что все значения функций W(t) и U(t) лежат
в интервале (0; 0,5). Тогда все значения L(t) окажутся в интервале (0;
1).
(Замечание: любовь особенно боится «голода и холода»,
т.е. неустроенности бытия. 21.09.2012
8:04)
Определение 3
Предельно большие
значения функций:
W(t) = 0,5
назовем страстью S;
U(t) = 0,5
назовем преклонением Р;
L(t) = 1 назовем идеальной
любовью I.
Т.о., формула
идеальной любви имеет
вид:
I = S
+ P
Теорема 2.
«Любить двух сразу можно».
Действительно. Среди
множества знакомых человека, как правило, всегда найдутся
такие, которые ему и симпатичны и уважаемы им, т.е. любимы в смысле Определения
1.
Доказано даже больше: любить одновременно можно двух, трех и более человек
сразу.
Конечно, степень этого чувства, по отношению к разным людям, различна.
Виды любви
Определение 4.
Любовь назовем
страстной, если 0 < U < W
(влечение «перевешивает» уважение).
Страстная любовь возникает, как правило, при наличии влюбленности,
граничащей
со страстью. А т.к. влюбленный человек склонен идеализировать объект своей
любви,
то возрастает и степень уважения. Таким образом, происходит усиление любви и
при
отсутствии неблагоприятных обстоятельств может возникнуть своего рода
неуправляемый
лавинообразный процесс, который приведет к идеальной любви.
Если уважение было построено на песке и любящий это поймет, то такая
любовь
может закончиться глубочайшей драмой. Это особенно характерно для «первой любви».
Страстная любовь свойственна людям с холерическим темпераментом.
Поскольку
достаточно часто страсть превалирует над
разумом, возможно возникновение ревности –
сомнения в верности партнера по любви.
Страстная любовь сулит
больше наслаждений. Но и страданий (ревность, развод).
Страсть плохо рассуждает. О. Бальзак.
Определение 5.
Любовь назовем
рассудочной, если 0 < W < U
(уважение «перевешивает» влечение).
Разумная любовь, как правило, возникает вначале при отсутствие
влюбленности
и при все возрастающем уважение. Такая любовь свойственна больше людям
флегматичным. Вероятность возникновения ревности здесь значительно меньше.
Очевидно, семьи, созданные на такой основе, должны быть более благополучными.
Заметим, что с течением времени возможен переход одного вида любви в
другой,
но любой вид может привести к любви идеальной.
Определение
6.
Ревность –
сомнение в верности объекта любви, вызывающее
целую гамму иногда сильно преувеличенных чувств.
Следствия известны всем.
Если без лирики:
Любовь
это хитросплетение
в теле человека химии
и квантовой физики.
19.05.2013
========================================================
Тема: «Детям, ученикам и взрослым»
Страницы: 23. 24. 26. 41. 53. 76. 79. 103. 104. 120. 121. 122.
Дополнительно: 113. 123. 130 и Тема: «Игры детям»
Конец страницы
САЙТ — Главная страница:
0.
Распределение страниц по темам. 1. Теория любви.
Сон.
4.
Центоны 5.
Логогрифы (часть 1)
6.
Логогрифы (часть 2 ) 7.
Логогрифы (часть 3)
8.
Фразеологизмы в стишках. 9.
Моноримы. Метаграммы.
10.
Палиндромы (часть 1а) 17.
Анаграммы
18.
Разбиение слов 19.
Гетерограммы
20.
Каламбуры 21.
Кроссворды 2х2
22.
Кроссворды 3х3 23.
Простые диофантовы
уравнения
24.
Цепные дроби.
Иррациональности 25.
Афоризмы
26.
Мир спорта (стихи)
27.
Политика. Трагедия Осетии. (стихи)
28.
Словарные опыты: тавтограммы, и др.
29. Фамильярные палиндромы.
30.
Пазлики (центоны) 61. Люди и
звери.
31. Анекдоты. Логомахия (стихи) 32. Жертва суеверия
33.
Палиндромы: Спецсловарь-1 34.
Палиндромы: Спецсловарь-2
35.
Палиндромы: Спецсловарь-3 38.
2-х буквен. слова
39.
Реплики 41.
Воображаемая
орфография
42.
Загадки-ОЧЕПЯТКИ 43.
Двусмысленность
44.
Милости просим шиворот-навыворот 48.
Гекзаметр? (полуцентоны)
49.
Анатомия любви 50.
Операции со словами
53. Мой опыт жизни 54.
Неологизмы. Определения
56.
Млечные истины 57.
Т а н к а ?
58.
Песни-центоны. Романсы 62.
Танка-центоны.
63.
Третий должен уйти. 64.
Амфиболия фразеологизмов.
65.
Август, 2012. 66.
Исповедь "Мцыри".
67. Месть
есть? 68.
Каламбурная рифма.
69.
9 кругов Ада Данте.
70. Руслан Амурин.
72.
Физиология секса. 73.
Словарик для логостихов.
74.
За круглым столом - Поэты. 76. О пустом множестве.
77.
Емкость слова. 79.
Магический квадрат
в Пятнашках.
80.
Разбиения рифмы. 81.
Значение буквы в слове.
82.
Катится, катится голубой в огонь. 83.
Словарь Дружественных слов.
84.
Абсолютная рифма. Полуцентоны. 85.
Шестая колонна России.
86.
Брахиколон -монорим. 87.
Абсолютная рифма. Словарики.
88.
Логогрифмическая рифма. 89.
Логогрифы-центоны.
90.
Моноримная рифма. 91.
Моноримы-Центоны.
92. Тавто. рифма и Омонимическая. 93. Гетерограммная рифма
94. Абсолютная
рифма. Полуцентоны. 11. Мои гаврики.
95.
Однородные (центоны). 96.
Смешанные рифмы - 1.
97.
Опечатки в поэзии. 98.
Полемический центон о Слове.
99.
"Гарольд" из Украины. 100.
Словарь разбиения слов.
101.
Украина! Куда несет тебя, кузина? 103.
Исследование души.
104.
Песенка кормящей
мамы (Моцарт.) 105.
Метатезы. Паронимы.
106.
Классификация каламбуров (обзор). 107.
Дружественные слова; рифмы
108.
Гетерограммы и Разбиения (из стихов Поэтов) 109.
Знатокам поэзии.
110.
Словарные игры. 111.
Смешанные рифмы - 2.
112.
Венок сонетов. 113.
Сказка Пушкина.
120.
Это кому-то нужно. 121.
Детям, школьникам,
учителям, студентам.
122.
Взрослым, пожилым,
старикам. 123.
Я прохожу тесты.
124.
Я комментирую политику. 125.
Я комментирую Живопись.
126.
Я комментирую Песни. 128.
Я комментирую «Любовь».
129.
Я комментирую стихи О. Хайяма. 130.
Я комментирую «Старость».
131.
Я комментирую «Юмор». 132.
Апокрифический «Венок сонетов».
133.
Игорю Губерману с уважением. 134.
Я комментирую цЫтаты.
135. О.
Хайям глазами других Поэтов. 136.
Я комментирую стихи поэтов.
140.
Идет Третья мировая война. 141.
Я отвечаю на вопросы. Часть 2.
142.
Я отвечаю на вопросы. Часть 1. 143.
Центоны из Одностиший.
144.
Венок сонетов из Одностиший. 145.
Вилланелла.
146.
Фронтовая любовь. 147.
О «Комбинаторной ПОЭЗИИ».
148.
Басня «Лев и Смерть». 149.
Тест «Стрелец».
150.
Избранное - 1. 151.
Избранное - 2.
152.
Избранное - 3. 153.
Избранное - 4.
154.
Ненормативная лексика. 155.
Сборник сонетов.
156.
Поэты о ВРЕМЕНИ. 157.
Фаине Раневской.
158. Я
комм-рую «ГалопомПоЕвропам». 159.
В защиту ПУТИНА В.В.
160. Любимые цЫтаты. 161. Блокнот "Черновик-1".
162. Я
комментирую "Русский язык". 163. Я комментирую "Школа,
Россия".
164. Я
комментирую ПРИТЧИ. 165. Последняя страница
Подвал
"Позитив
красок" Дарьи Орловой
Смотрим
вместе советский учебник арифметики 1955 года |
Иллюстрации - просто загляденье!
23 июня 2023 22K прочитали 78,9K подписчиков
Да,
я Сохранил учебник "Арифметика" -
единственный, который учил ЛОГИЧЕСКИ мыслить (хотя у меня сохранились
учебник
за
АЛГЕБРУ
тогда называли "Арифметика для лентяев".
Попробуйте
решить логически задачу Л.Н. Толстого без помощи Алгебры:
"Вышла
в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое
больше другого. Полдня вся
артель
косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна
половина осталась докашивать
большой
луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от
малого остался участок, который
был
скошен на следующий день одним косцом, работавшим весь день. Сколько косцов
было в артели?" 9
24г.
Почему
это не объясняют на уроках физики?
15 августа 2020
Эк,
куда вас занесло...
Я
пробовал задавать простые «квартирные» вопросы по физике. Например, почему откроешЬ ХОЛОДИЛЬНИК,
затем
закроешЬ, и не сразу сил хватит его вновь открыть?
Приходится подождать. И чем качество его лучше, тем
дольше
нужно ждать. Ещё? Почему лампочки с вольфрамовой нить. нередко взрывались при
включении света?
Таких
БЫТОВЫХ ПОЛЕЗНЫХ ??? на каждом шагу в доме. Хоть КНИГУ пиши. Не один, пожалуй,
не ответит
правильно,
что такое ИНТЕГРАЛ?.. Всего Вам доброго!
Сверхплотная
планета-монстр - астрономы в тупике
05 августа 2020 Анатолий Глянцев
Беда
многих т.н. ТЕОРИЙ состоит в том, что они делаются на основе ИНДУКЦИИ (на
основании нескольких
частных
случаев делается ОБЩИЙ ВЫВОД). Этим особенно грешит, на мой взгляд, МЕДИЦИНА и
её
двоюродная
сестра ДИЕТОЛОГИЯ. Каждый год делаются ЗАКРЫТИЯ старых "ТЕОРИЙ" (и
статей,
диссертацЫй!),
точное название которых Г-И-П-О-Т-Е-З-Ы! ( а в КРИМИНАЛИСТИКЕ - ВЕРСИЯ).
Особенно
много
слышал ГИПОТЕЗ о ВСЕЛЕННОЙ, Тунгусском "МЕТЕОРИТЕ"... Вот в
МАТЕМАТИКЕ такое случается
редко.
Там каждая ГИПОТЕЗА доказывается. И она становится ТЕОРЕМОЙ! ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
проверяется
сотнями
математики в разных поколений.
Пророческие
слова Олега Борисова о том, во что превратятся современные актеры.
Насколько
я помню. это идея Л.Н, Толстого. Например, по 100-бальной системе попросить
актёра оценить
себя,
а поскольку актёры,как правила не в ладах с
математикой, а самомнение завышено - они вляпают себе
по
мксимому. Эта оценка пойдёт в знаменатель дроби,
числителем которой будет усреднённая оценка его
окружения.
Например, 20/100 или 56/ 50..Очень интереснаая
мысль...
14 июля 2020
Как
современный Нобелевский лауреат подтвердил идею философа 17 века.
Об ошибке, которую совершает почти каждый
"Итак,
Даниэль разработал теорию эвристики доступности - это когда мы делаем вывод,
основываясь
на
близости к нам информации об объекте, а не на фактах, изучение которых требует
больших сил».
Прочёл
ещё раз и не понял, чем всё-таки его ТОЛСТАЯ теория отличается от ИНДУКТИВНОГО
мышления.
Да,
наукообразности много, так что без СИС и не разберёшЬ.
Но в обеих теориях: ВЫВОДЫ основанные
на
личном опыте - чаще всего ошибочны!
02.09.2020
Пасьянс
паук
Одна
из интелетуалов-игр. У меня был лучший вариант. недоигранная партия запоминалась. из каждых 100
партий
я гарантированно выигрывал 85%. при каждом завершении партии выдавалась
статистка. Возникла
интересная
матем. задача:
Сколько партий нужно выиграть чтобы увеличить на 1%.? Я нашёл формулу...
Как называется парадокс, который гласит о том,
что чем точнее измерение, тем больше шанс его неверности?
Например,
если есть 3 высказывания:
1. Между городами
2. Между городами
3. Между городами
То по описанию парадокса, более точное значение (2 и тем более 3) будет более
неверным в отличие от 1, хоть
и
имеют более точные значения
Парадокс
– ПРАВДА, кажущаяся ложью. Но здесь софизм – ЛОЖЬ, кажущаяся правдой. Нельзя
измерять то, что
не
имеет точных границ. (Как расстояние между городами, которое измеряется между
их «Центрами»)
Измерения
всегда производят прибором, для которого
указаны
границы его погрешности. Можно ли измерить длину вашей комнаты между ФИКСИРОВАННЫМИ
противоположными
точками комнаты с томность до миллиметра? ДА, если применить ЛАЗЕРНЫЙ луч.
28 августа 2022